Wandelen met Pythagoras of wiskunde van de eenvoudige soort (1)

Eerst een verklaring vooraf :
Voor degene die enigzins thuis zijn in de wiskunde zou ik adviseren hun tijd ergens anders aan te besteden want ik heb hun niets te bieden (dit is het eerste deel)
Alles wat ik hier namelijk beweer is ongetwijfeld al veel eerder ontdekt door de oude Grieken, dus niet nieuw. Maar voor mij was het wel nieuw toen ik de dingen zelf ontdekte die hieronder worden uitgelegd.
We beginnen heel eenvoudig, gewoon met tellen 1,2,3, enz.., hier kun je oneindig mee doorgaan, maar je komt er nooit mee stoppen want er is geen oneindig eindpunt, het is een eeuwig proces en zeker geen toestand.

In deze reeks (officieel de natuurlijke getallen) zijn er twee soorten getallen om mee te beginnen, te weten, de oneven getallen en de even getallen, resp. (2X-1 en 2X ), X is een willekeurig getal uit die oneindige reeks. Twee keer een getal levert altijd een even getal op en om een oneven getal kun je er dan gewoon 1 aftrekken. Je ziet ik leg alles uit.

Nu blijken er allerlei leuke eigenschappen in die reeksen verborgen te zitten. We hebben nu al drie reeksen, te weten:
De reeks van de 1,2,3,enz. , de reeks 1,3,5, enz. en 2,4,6, enz.

oneven getallen en kwadraten

Nemen we de reeks, 1,3,5 enz, de oneven getallen. Als je die optelt, blijkt iets prachtigs,
1+3= 4, 1+3+5= 9, 1+3+5+7= 16, enz. misschien heb je het al gezien, de uitkomst is telkens een kwadraat (een kwadraat is het product van twee keer hetzelfde getal, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, enz.
Je kunt dat gemakkelijk inzien door met damstenen te stapelen, je begint met één steen, dat is 1 maar ook 1 x 1 en 1 x 1 x 1, hoe vaak je 1 met 1 vermenigvuldigt, het blijft 1.
Om er 2 x 2 van te maken moet je 1 steen op de beginsteen zetten en 2 er naast, dus 1 + 1 + 2 = 1 + 3 = 4. maak je er 3 x 3 van dan leg je op beide stapeltjes één steen en een stapeltje van 3 er naast, 4 + 2 + 3 = 4 + 5 = 9 enz.
Je kunt het ook doen met een stuk ruitjes papier en een stel viltstiften.
Zoals je misschien alweer is opgevallen, bestaat dat oneven getal dat je telkens optelt bij het laatste kwadraat, uit twee delen, een kleine 'helft' en een grote 'helft', dat blijft zo voortduren. Neem een willekeurig oneven getal, bijv. 11, dat bestaat dan uit 5 en 6.
En nu weet je dat 11 het verschil is tussen 5 x 5 en 6 x 6, te weten 25 en 36. Want 36 - 25 = 11. enz. (telkens als ik enz. typ, moet je, als je het niet al te simpel vindt, even er mee doorgaan)

rechthoekige driehoeken

Nu, beweer ik iets moois, je hebt nu de sleutel in handen tot de rechthoekige driehoeken waarvan de zijden hele getallen zijn, dus getalen uit de eerste reeks.
Als je dit tot nu toe hebt gelezen en begrepen dan behoor je vast tot degenen die weleens van de stelling van Pythagoras hebben gehoord, A kwadraat + B kwadraat = C kwadraat (kwadraat betekent tot de macht 2, ik schrijf dat vanaf nu zo : X^2. Als X = 2 dan staat daar dus 2 x 2. Tot de macht 3 schrijf ik dus zo X^3 enz)
Dus de stelling van Pythagoras kun je nu ook zó schrijven A^2 + B^2 = C^2. ( Ik gebruik geen kleine exponentgetallen schuin boven, omslachtig gedoe).
A en B zijn de lengtes van de aanliggende rechthoekzijden en C de schuine zijde (Hypothenusa, zo heette die lijn lang geleden toen ik nog op school zat).
Nu die sleutel, je neemt een oneven kwadraatgetal, bijv. 9, je deelt die in een kleine en grote helft resp. 4 en 5 en kwadrateert ze, je krijgt 16 en 25 en het verschil tussen die twee is 9. Reken je die getallen terug, worteltrekken, dan krijg je A = 3, B = 4 en C = 5.
Daarmee hebben we de eerste rechthoekige driehoek waarvan de zijden hele getallen zijn.
Deze driehoek wordt door timmerlui en stratenmakers gebruikt om een haakse lijn te tekenen, denk daar maar eens over na. Je hebt een touw, een spijker en een krijtje nodig.

De volgende driehoek die we zo kunnen maken, begint met het volgende oneven kwadraat, te weten 25 (5 x 5). te verdelen in 12 en 13. Die kwadrateren we tot 144 en 169. Dat is niet toevallig want 169 - 144 = 25. Vervolgens worteltrekken en we krijgen A = 5, B = 12 en C = 13. De driehoeken worden er niet mooier op, namelijk steeds langwerpiger.
Bijvoorbeeld 169 (= 13 x 13 ), delen in twee 'helften' 84 en 85. De driehoek die je zo krijgt
heeft A = 84, B = 13 en C = 85. want (84^2)7056 + (13^2)169 = (85^2)7225, een raar geval, maar je kunt er zo wel oneindig veel maken en die worden steeds spitser.
Besef nu het volgende; A, B en C vormen een driehoek en hun kwadraten een lijnstuk(C^2) en twee delen daarvan (A^2 en B^2)!

gelijkvormige driehoeken

Het volgende wat we bekijken is gelijkvormigheid (congruentie), dat wel zeggen als je, in ons geval een driehoek, een figuur gelijkmatig vergroot of verkleint dan blijft de vorm gelijk en de verhoudingen.
We gaan terug naar de eerste driehoek A = 3, B = 4 en C = 5, gelijkmatig vergroten A wordt bijvoorbeeld 3 + 3 = 6, B wordt dan 4 + 4 = 8 en C 5 + 5 = 10.
Kwadrateren wordt 36, 64 en 100. Dat levert de congruente driehoek A = 6, B = 8 en C = 10. Vergroten we nog een keer dan krijgen we A = 6 + 3 = 9, B = 8 + 4 =12 en C = 10 + 5 = 15, wordt 81 + 144 = 225 enz. Wat je hebt vergroot kun je wel weer verkleinen, maar dat mag niet bij de eerste want dan gaan de getallen kapot.
Hoe dan ook je kunt oneindig gelijkmatig (lineair) vergroten en wel met al die driehoeken die we hiervoor al gemaakt hebben, een oneindig maal oneindig aantal driehoeken.

driehoeken met hogere machten

Let op, gelijkmatig vergroten kan wel maar de versnellend vergroten niet (exponentieel) want stel dat er een driehoek bestaat waarvoor geldt A = 3^3, B= 4^3 en C= 5^3. Dan krijg je bij onze eerste driehoek A = 27, B = 64 en C = 125, dit zijn uiteraard géén kwadraten van hele getallen. Dus we hebben zijde A niet in 9 eenheden verdeeld maar in 27 en B niet in 16 maar in 64 en C in 125 eenheden.
Je ziet die eenheden kloppen niet meer en dat maakt alles tot een gedrocht. Want 27 + 64 = geen 125.
3/27 = 1/9 is een groter deel van een eenheid dan 5/125 = 1/25, 1/9 > 1/25 (eennegende is groter dan eenvijfentwintigste van een eenheid)
Doen we gewoon of we gek zijn en passen Pythagoras toe met deze onmogelijke deelstukjes
dan levert dat enige rekenwerk op dat ik niet uit mijn hoofd doe: 27^2 + 64^2 = 125^2 (geloof het maar niet) kijk maar 729 + 4096 = 15625 en 15625 - 4096 = 11529 en geen 729.
Maar hoe als we rekening houden met die ongelijke stukjes, dan krijgen we, 729 x 1/9 = 81, 4096 x 1/16 = 256 en 15625 x 1/25 = 625 en trekken we wortel dan krijgen we 9 + 16 = 25 en dan zijn we weer thuis bij Pythagoras.
Dus, als je mij vraagt maar ik ben geen wiskundige, zijn er oneindig veel rechthoekige driehoeken met hele getallen waarvoor de stelling van Pythogoras geldt, maar niet één met hogere machten, dus geen A^(2+X) + B^(2+X) = C^(2+X).

De stelling van Pythagoras bijna

Maar misschien wel naderend tot, het wordt wel een verhaal met oneindigheden!
Neem om te beginnen die rechthoekige driehoek die 3,4 en 5 als zijden heeft, als je deze lengtes kwadrateert krijg een lijnstuk waarvan de lengte van het grootste kwadraat gelijk is aan de som van de twee kleinste, gewoon Pythagoras. 9 + 16 = 25.
Nu gaan we extreem doen.
Je neemt dat lijnstuk waar we het net over hadden en zetten op de plek waar die twee deellijnstukken elkaar raken een schuifje. Dus als je die driehoek 3,4,5 neemt, is het lijnstuk 25 lang en zit het schuifje op 9 of 16.
Nu gaan we die drie lijnstukken kwadrateren, je krijgt een vierkant van 25 x 25 met daarin twee vierkanten van 16 x 16 en 9 x 9, dat wordt dan respectievelijk 625, 256 en 81. Die laatste twee zijn samen 337.
Nu gaan we schuiven, eerst zetten we het schuifje in het midden dan krijg je twee vierkanten van 12,5 x 12,5 = 156,25, dit twee keer, maakt 312,5. Dit geeft het grootste verschil met die 625, precies de helft. Vervolgens schuiven we helemaal naar een uiteinde van het grote lijnstuk. Je ziet het ene vierkant zwellen en het andere krimpen, de ene nadert 25 x 25 en het ander 0 x 0. Anders gezegd 625 wordt 625 op een oneindig klein stukje na. Wat je hier ziet is het naderen van A^3 + B^3 is bijna C^3, het is het eeuwige proces naar = C^3. Onmogelijkheden zijn zaken van de oneindigheid.

Nog iets over de stelling van Pythagoras met hogere machten.

De stelling van Pythagoras begint met een rechthoekige driehoek, laten we die met de hypotenusa op een lijnstuk tekenen, een lijn met een tentje. Als je de zijden kwadrateert, dan wordt de langste zijde onevenredig langer. Precies zo lang als de kwadraten van de twee andere zijden samen (de gewone stelling van P.) Het gekwadrateerde tentje valt plat op de grond/ het lijnstuk.
Nu moet ik een beroep doen je verbeeldingskracht, let op, we maken er de derde macht
van, die platliggende lijnstukken A, B en C zijn dus al kwadraten .
Weer wordt de hypotenusa C, onevenredig langer dan die twee ander samen A en B, maar we dwingen de C^3 , A^3 en B^3, als een tentstok van een koepeltentje in de lijnstukken van de kwadraten. C^3 gaat krom staan in lijnstuk C^2 en als we A en B niet meer ruimte geven dan lijnstuk A^2 en B^2 dan gaan die ook krom staan, de langste meer dan de kortste.
Als we dit herhalen voor telkens een hogere macht dan gaan die krommen steeds meer op cirkels lijken, als een hete luchtballon die boven de huizen oprijst, met één vlak stukje uiteraard.
Maar als je extreem gaat doen tot hele hoge machten.
Dan worden die cirkels steeds meer meetkundige cirkels want die bestaan ook uit vlakjes, daarom is Pi oneindig, denk ik .
Stel je hebt die cirkel 'opgeblazen' (een opgeblazen cirkel bestaat niet uit vlakjes) tot de omtrek van Betelgeuze of groter (om niet weer over oneindig te beginnen), die twee
kleinere daar binnenin, zijn op dat moment vele malen kleiner. Maar als op de vlakke stukjes van die twee kleinere ook zulke schuifjes zitten, zoals we die eerder gebruikt hebben, dan kan je één van de twee vergroten tot naderend Betelgeuze en die andere tot de grootte van een elementair deeltje en nog kleiner.
Wat ik daarmee zeggen wil bij iedere macht groter dan 2 gaat A^X + B^X = C^X bijna op maar nooit helemaal en daarmee nooit omdat er een limiet blijkt, althans volgens mij. Ik
vind het een mooi beeld.

Er valt nog iets leuks op. Als je bij iedere hogere macht A gelijk maakt aan B dan worden die twee samen steeds maar de helft van de vorige macht. Bijvoorbeeld C = 10 en A en B zijn 5 dan krijg je 100 en 25 + 25 = 50 de helft van 100, dus bij kwadraten is A + B de helft van C.
Derde macht, 1000, 125 + 125 = 250 een kwart van duizend. Vierde macht 10.000, 625 + 625 =1.250 is 1/8 va 10.000 , enz. Dus die deelcirkels binnen de grote cirkel gedragen zich steeds extremer.

Guido van Geel