Korte verhalen

Zet ook uw verhalen op 1001KorteVerhalen.nl

Heeft u nog geen account? Meld u gratis aan!

Print dit gedicht

Wandelen met Pythagoras

of wiskunde van de eenvoudige soort

Eerst een verklaring vooraf :
Alles wat ik hier beweer is ongetwijfeld al veel eerder ontdekt door de oude Grieken, dus verwacht niets echt nieuw. Maar voor mij was het wel nieuw toen ik de dingen zelf ontdekte die hieronder worden uitgelegd.
We beginnen heel eenvoudig, gewoon met tellen 1,2,3, enz., hier kun je oneindig mee doorgaan, maar je komt er nooit mee stoppen want er is geen oneindig eindpunt, het is een eeuwig proces.

In deze reeks (officieel de natuurlijke getallen) zijn twee soorten getallen om mee te beginnen, te weten, de oneven getallen en de even getallen, resp. (2X-1 en 2X ), X is een willekeurig getal uit die oneindige reeks.

Nu blijken er allerlei leuke eigenschappen in die reeksen verborgen te zitten. We hebben nu al drie reeksen, te weten:
De reeks van de 1,2,3,enz. , de reeks 1,3,5, enz. en 2,4,6, enz.

Nemen we de reeks, 1,3,5 enz, de oneven getallen. Als je die optelt, blijkt iets prachtigs,
1+3= 4, 1+3+5= 9, 1+3+5+7= 16, enz. misschien heb je het al gezien, de uitkomst is telkens een kwadraat (een kwadraat is het product van twee keer hetzelfde getal, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, enz.
Je kunt dat gemakkelijk inzien door met damstenen te stapelen, je begint met één steen, dat is 1 maar ook 1 x 1 en 1 x 1 x 1, hoe vaak je 1 met 1 vermenigvuldigt, het blijft 1.
Om er 2 x 2 van te maken moet je 1 steen op de beginsteen zetten en 2 er naast, dus 1 + 1 + 2 = 1 + 3 = 4. maak je er 3 x 3 van dan leg je op ieder stapeltje één steen en een stapeltje van 3 er naast, 4 + 2 + 3 = 4 + 5 = 9 enz.
Je kunt het ook doen met een stuk ruitjes papier en een stel viltstiften.
Zoals je misschien alweer is opgevallen, bestaat dat oneven getal dat je telkens optelt bij het laatste kwadraat, uit twee delen, een kleine 'helft' en een grote 'helft', dat blijft zo voortduren. Neem een willekeurig oneven getal, bijv. 11, dat bestaat dan uit 5 en 6.
En nu weet je dat 11 het verschil is tussen 5 x 5 en 6 x 6, te weten 25 en 36. Want 36 - 25 = 11. enz. (telkens als ik enz. typ, moet je, als je het niet al te simpel vindt, even er mee doorgaan)
Nu, beweer ik iets moois, je hebt nu de sleutel in handen tot de rechthoekige driehoeken waarvan de zijden hele getallen zijn, dus getalen uit de eerste reeks.
Als je dit tot nu toe hebt gelezen en begrepen dan behoor je vast tot degenen die weleens van de stelling van Pythagoras hebben gehoord, a kwadraat + b kwadraat = c kwadraat (kwadraat betekent tot de macht 2, ik schrijf dat vanaf nu zo : Xv2. Als X = 2 dan staat daar dus 2 x 2. Tot de macht 3 schrijf ik dus zo Xv3 enz)
Dus de stelling van Pythagoras kun je nu ook zó schrijven Av2 + Bv2 = Cv2. ( Ik gebruik geen kleine exponentgetallen schuin boven, omslachtig gedoe).
A en B zijn de lengtes van de aanliggende rechthoekzijden en C de schuine zijde (Hypothenusa, zo heette die lijn lang geleden toen ik nog op school zat).
Nu die sleutel, je neemt een oneven kwadraatgetal, bijv. 9, je deelt die in een kleine en grote helft resp. 4 en 5 en kwadrateert ze, je krijgt 16 en 25 en het verschil tussen die twee is 9. Reken je die getallen terug, worteltrekken, dan krijg je A = 3, B = 4 en C = 5.
Daarmee hebben we de eerste rechthoekige driehoek waarvan de zijden hele getallen zijn.
Deze driehoek wordt door timmerlui en stratenmakers gebruikt om een haakse lijn te tekenen, denk daar maar eens over na. Je hebt een touw, een spijker en een krijtje nodig.

De volgende driehoek die we zo kunnen maken, begint met het volgende oneven kwadraat, te weten 25 (5 x 5). te verdelen in 12 en 13. Die kwadrateren we tot 144 en 169. Dat is niet toevallig want 169 - 144 = 25. Vervolgens worteltrekken en we krijgen A = 5, B = 12 en C = 13. De driehoekenworden er niet mooier op, namelijk steeds langwerpiger.
Bijvoorbeeld 169 (= 13 x 13 ), delen in twee 'helften' 84 en 85. De driehoek die je zo krijgt
heeft A = 84, B = 13 en C = 85. want 7056 + 169 = 7225, een raar geval, maar je kunt er zo wel oneindig veel maken en die worden steeds spitser.
Besef nu het volgende; A, B en C vormen een driehoek en hun kwadraten een lijnstuk(Cv2) en twee delen daarvan (Av2 en Bv2)!
Het volgende wat we bekijken is gelijkvormigheid (congruentie), dat wel zeggen als je, in ons geval een driehoek, een figuur gelijkmatig vergroot of verkleint dan blijft de vorm gelijk en de verhoudingen.
We gaan terug naar de eerste driehoek A = 3, B = 4 en C = 5, gelijkmatig vergroten A wordt bijvoorbeeld 3 + 3 = 6, B wordt dan 4 + 4 = 8 en C 5 + 5 = 10.
Kwadrateren wordt 36, 64 en 100. Dat levert de congruente driehoek A = 6, B = 8 en C = 10. Vergroten we nog een keer dan krijgen we A = 9, B = 12 en C =15, wordt 81 + 144 = 225 enz. Wat je hebt vergroot kun je wel weer verkleinen, maar dat mag niet bij de eerste want dan gaan de getallen kapot.
Hoe dan ook je kunt oneindig gelijkmatig (lineair) vergroten en wel met al die driehoeken die we hiervoor al gemaakt hebben, een oneindig maal oneindig aantal driehoeken.

Let op, gelijkmatig vergroten kan wel maar de versnellend vergroten niet (exponentieel) want stel dat er een driehoek bestaat waarvoor geldt Av3, Bv3 en Cv3. Dan krijg je bij onze eerste driehoek A = 27, B = 64 en C = 125, dit zijn uiteraard géén kwadraten. Dus we hebben zijde A niet in 3 eenheden verdeeld maar in 27 en B niet in 4 maar 64 en C in 125 eenheden.
Je ziet die eenheden kloppen niet meer en dat maakt alles tot een gedrocht. Want 3/27 is een groter deel van een eenheid dan 5/125, 1/9 > 1/25 (eennegende is groter dan eenvijfentwintigste van een eenheid)
Doen we gewoon of we gek zijn en passen Pythagoras toe met deze onmogelijke deelstukjes
dan levert dat enige rekenwerk op dat ik niet uit mijn hoofd doe. 27v2 + 64v2 = 125v2 (geloof het maar niet) kijk maar 729 + 4096 = 15625 en 15625 - 4096 = 11529 en geen 729.
Maar hoe als we rekening houden met die ongelijke stukjes, dan krijgen we, 729 x 1/9 = 81, 4096 x 1/16 = 256 en 15625 x 1/25 = 625 en trekken we wortel dan krijgen we 9 + 16 = 25 en dan zijn we weer thuis bij Pythagoras.
Dus, als je mij vraagt maar ik ben geen wiskundige, zijn er oneindig veel rechthoekige driehoeken met hele getallen waarvoor de stelling van Pythogoras geldt, maar niet één met hogere machten, dus geen Av(2+X) + Bv(2+X) = Cv(2+X).

Maar misschien wel naderend tot, het wordt wel een verhaal met oneindigheden!
Neem om te beginnen die drie rechthoekige driehoek die 3,4 en 5 als zijden heeft, als je deze lengtes kwadrateert krijg een lijnstuk waarvan de lengte van het grootste kwadraat gelijk is aan de som van de twee kleinste, gewoon Pythagoras.
Nu gaan we extreem doen.
Je neemt dat lijnstuk waar we het net over hadden en zetten op de plek waar die twee deellijnstukken elkaar raken een schuifje. Dus als je die driehoek 3,4,5 neemt, is het lijnstuk 25 lang en zit het schuifje op 9 of 16.
Nu gaan we die drie lijnstukken kwadrateren, je krijgt een vierkant van 25 x 25 met daarin twee vierkanten van 16 x 16 en 9 x 9, dat wordt dan respectievelijk 625, 256 en 81. Die laatste twee zijn samen 337.
Nu gaan we schuiven, eerst zetten we het schuifje in het midden dan krijg je twee vierkanten van 12,5 x 12,5 = 156,25, dit twee keer, maakt 312,5. Dit geeft het grootste verschil met die 625. Vervolgens schuiven we helemaal naar een uiteinde van het grote lijnstuk. Je ziet het ene vierkant zwellen en het andere krimpen, de ene nadert 25 x 25 en het ander 0 x 0. Anders gezegd 625 wordt 625 op een oneindig klein stukje na. Wat je hier ziet is het naderen van Av3 + Bv3 is bijna Cv3, het is het eeuwige proces naar = Cx3. Onmogelijkheden zijn zaken van de oneindigheid.

We gaan verder en wel met de reeks van de even getallen, 2,4,6 enz.
Als je hier mee gaat optellen 2, 2 + 4 = 6, 2 + 4 + 6 = 12, enz. dan krijg zo op het oog minder bijzondere getallen als bij de som van oneven getallen, maar de schijn bedriegt. Kijk maar, als je kettingproducten maakt (Ik noem dat maar zo, ik bedoel producten, vermenigvuldigingen van twee opvolgende getallen) 1 x 2 = 2, 2 x 3 = 6, 3 x 4 = 12, 4 x 5 = 20 enz. en 20 is ook 2 + 4 + 6 + 8.

(Even een probleempje tussendoor. De rangtelwoorden van de tot nu toe behandelde reeksen.
Voor een oneven getal geldt, het oneven getal plus 1 gedeeld door 2, oftewel ((2X -1) + 1)/2.
Voor even getallen gewoon het getal gedeeld door twee, X/2, is het rangtelwoord.
Dus 11 is 11 + 1 =12/2 = 6de oneven getal en 24 het 12de even getal, het zal blijken dat dit best handig is om dit steeds zeker te weten. )

Deze getallen spelen ook een rol bij opvolgende kwadraatgetallen en wel als volgt:
Als je van X, Xv2 wilt maken dan moet je daar telkens het juiste getal uit de reeks optellen die we net gemaakt hebben, bijvoorbeeld 2 +(1 x2) = 4 of 3 +(2 x 3)= 9 of 9 +(8 x 9)= 81. Dit is goed inzichtelijk met damstenen, bijvoorbeeld, je hebt een rijtje van 9 damstenen, daar moet je dan 8 rijen van 9 stenen opleggen om 9 x 9 stenen te krijgen.
Welk kettingproduct dat je telkens moet nemen, zal nu wel duidelijk zijn, bij bv. 13 hoort dus 12 x 13. Dat is 12 x 13 = 156 = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 + 22 + 24 = 156 = ((2 + 24 (eerste plus de laatste uit de reeks) = 26) Vervolgens 26/2 = 13 tenslotte 13 x 12 (het 12de even getal) maakt 156.

Zover deze lezing en wordt vervolgd
met vriendelijke groet

Guido van Geel


,

Toevoegen aan favorieten

Ingezonden door

guido van geel

Geplaatst op

31-10-2018

Over dit verhaal

'Je moet eerst door de rijstberg', zei Kwetal 'en dan vliegen de bewezen stellingen vrij rond.'

Geef uw waardering

Er is 2 keer gestemd.

Social Media

Tags

Guidovangeel Wiskunde

Reacties op ‘Wandelen met Pythagoras’

  • Geef mij cijfers in plaats van woorden en ik zit er met het grootste onverstand naar te kijken. Ik reageer omdat ik het heel oké vind weer iets van je te zien. Ik sta droog, na de uitgave van mijn 5e boek midden oktober. Ik kom je geen ster meegeven - dat deel hebben ze uitgeschakeld, denk ik maar zo. Ik heb het hier wel zo'n beetje gezien.

    Irene O. - 10-11-2018 om 12:33

Reageren

We gebruiken uw gegevens alleen om te reageren op uw bericht. Meer info leest u in onze Privacy & Cookie Policy.

Wilt u direct kunnen reageren zonder elke keer naam en e-mailadres in te voeren? Meld u hier aan voor een account!

Laatste nieuwsberichten

  • 17-10 - 1001KorteVerhalen.nl online!

    In navolging van 1001Gedichten.nl hebben we een nieuwe website opgezet speciaal voor Korte Verhalen. Meld je aan en plaats nu je verhalen.

Bekijk oudere nieuwsberichten »